Denne artikkelen skal utforske hva som er ortonormalt grunnlag av en matrise og hvordan du finner dem i MATLAB ved hjelp av ort() funksjon.
Hva er det ortonormale grunnlaget for en matrise
I lineær algebra er det ortonormalt grunnlag av et vektorrom V som har en endelig dimensjon er basisen som har ortonormale vektorer hvor i ortonormale vektorer er enhetsvektorene som er ortogonale på hverandre som er deres punktprodukt er null.
Tenk på to-enhetsvektorer x og y, de vil være ortogonale på hverandre hvis «x.y=0» . Disse to vektorene kalles også ortonormale vektorer .
Hvorfor trenger vi å beregne ortonormalt grunnlag
Et ortonormalt grunnlag er nyttig når det gjelder å finne projeksjonen av en vektor på en annen vektor eller finne avstanden mellom de to vektorene. Vi kan også bruke en ortonormalt grunnlag for å redusere avrundingsfeilen i våre simuleringer og den eneste grunnen til dette er at vektorene på ortonormal basis er uavhengige av hverandre, og dermed kan en feil i en vektor ikke forplante seg til andre vektorer. Videre er det mye lettere å finne koordinater og utføre lineær transformasjon hvis grunnlaget vårt er ortonormalt.
Hvordan finne det ortonormale grunnlaget for en matrise i MATLAB?
I MATLAB kan vi finne ortonormalt grunnlag ved hjelp av den innebygde ort() funksjon som er ansvarlig for å bestemme ortonormalt grunnlag av en gitt matrise. Denne funksjonen aksepterer en matrise som en obligatorisk parameter og gir en matrise som en utdata som inneholder ortonormalt grunnlag av den gitte inngangsmatrisen.
Syntaks
De ort() funksjonen kan implementeres i MATLAB gjennom følgende syntakser:
Q = ort ( A,tol )
Her,
- Funksjonen Q = ort(A) er ansvarlig for å bestemme ortonormalt grunnlag for området A der kolonner i utmatrisen Q representerer ortonormalt grunnlag av matrisen A og de spammer området til matrise A. Rangeringen av A tilsvarer også antallet kolonner i Q.
- Funksjonen Q = orth(A,tol) er ansvarlig for å bestemme ortonormalt grunnlag for området A som spesifiserer toleransen. Inndatamatrisen A sine entallsverdier, som er mindre enn toleranse, behandles som null ved å påvirke antall kolonner i Q.
Eksempel 1: Hvordan finne ortonormalt grunnlag for en full rangeringsmatrise i MATLAB?
Denne MATLAB-koden bestemmer ortonormalt grunnlag av den gitte kvadratiske matrisen A med størrelse n=3 ved bruk av ort() funksjon. Denne koden finner også rangeringen til en matrise A ved å bruke rang() funksjon for å bekrefte at inngangsmatrisen er full rangering.
A = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 1 - 3 ] ;r = rangering ( EN )
Q = ort ( EN )
Eksempel 2: Hvordan beregne det ortonormale grunnlaget for en rangeringsmangelmatrise i MATLAB?
I dette eksemplet bruker vi ort() funksjon for å finne ortonormalt grunnlag av den gitte rang-defekte matrisen A. Matrisen A er rang-mangelfull fordi rang(K)
r = rangering ( EN )
Q = ort ( EN )
Eksempel 3: Hvordan finne ortonormalt grunnlag for en full rangeringsmatrise ved å spesifisere toleranse i MATLAB?
Det gitte eksemplet beregner ortonormalt grunnlag av den gitte kvadratiske matrisen A med full rang har størrelse n=3 bruker ort() funksjon med standardtoleranse. Siden A er en full rangeringsmatrise, er størrelsen på A og Q (ortogonal basis) er den samme, som er 3×3 i dette tilfellet. Eksemplet beregner deretter ortonormalt grunnlag av A ved å spesifisere verdien av toleranse 0,5 for å betrakte verdiene til A som er mindre enn 0,5 som entallsverdier. Det er tre entallsverdier i A, så A har to ortonormale kolonnevektorer som er inneholdt av Qtol matrise.
A = rand ( 3 ) ;r = rangering ( EN )
Q = ort ( EN )
Q_tol = orth ( EN, 0,5 )
Konklusjon
Å finne ortonormalt grunnlag av et vektorrom er et viktig konsept for lineær algebra som er et komplisert matematisk problem. Det kan imidlertid løses enkelt og effektivt ved å bruke MATLABs innebygde ort() funksjon. Denne artikkelen har presentert implementeringen av denne funksjonen ved å bruke forskjellige syntakser og eksempler.